2: 行列の基本変形と応用

例えば, $A=\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix}$ に対する行基本変形は,

• $\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} c & d \cr a & b \end{pmatrix},$
• $\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} a & b \cr \lambda c & \lambda d \end{pmatrix},$
• $\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} a & b \cr \lambda a + c & \lambda b + d \end{pmatrix},$

といったものである.

\[ A = \begin{pmatrix} a & b\cr c & d \end{pmatrix}. \]

• $P_{1,2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}$ であり, \[ \begin{array}{rl} P_{1,2}A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \cr & = \begin{pmatrix} c & d \cr a & b \end{pmatrix}. \end{array} \] この行列は, 行列 $A$ に「第 $1$ 行と第 $2$ 行を入れ替える」という行基本変形を適用したものに等しい.
• $Q_{2,\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & \lambda \end{pmatrix}$ であり, \[ \begin{array}{rl} Q_{2,\lambda}A &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & \lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \cr & = \begin{pmatrix} a & b \cr \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}. \end{array} \] この行列は, 行列 $A$ に「第 $2$ 行に $\lambda$ を掛ける」という行基本変形を適用したものに等しい.
• $R_{2,1,\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr \lambda & 1 \end{pmatrix}$ であり, \[ \begin{array}{rl} R_{2,1,\lambda}A &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr \lambda & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \cr & = \begin{pmatrix} a & b \cr \lambda a + c & \lambda b + d \end{pmatrix}. \end{array} \] この行列は, 行列 $A$ に「第 $2$ 行に第 $1$ 行の $\lambda$ 倍を加える」という行基本変形を適用したものに等しい.

\[ A = \begin{pmatrix} 2&4&6\cr 2&3&4\cr 1&3&5 \end{pmatrix}. \]

• この行列の第 $1$ 行と第 $1$ 列を掃き出してみよう.
• つまり 第 $1$ 行と 第 $1$ 列について, $(1,1)$ 成分のみ $1$, それ以外は $0$ とする基本変形を考える.
• まず, 第 $1$ 行を $a_{11}=2$ で割ることで $(1,1)$ 成分を $1$ にする: \[ Q_{1,1/2}A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 1&3&5 \end{pmatrix}. \]
• 次に, 第 $2$ 行に第 $1$ 行の $-2$ 倍を加え, 第 $3$ 行に第 $1$ 行の $-1$ 倍を加える, これにより, 第 $1$ 列は $(1,1)$ 成分を除いて全て $0$ になる: \[ R_{3,1,-1}R_{2,1,-2}Q_{1,1/2}A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 0&-1&-2\cr 0&1&2 \end{pmatrix}. \] 記号の簡単のため, $\widetilde{P} = R_{3,1,-1}R_{2,1,-2}Q_{1,1/2}$ とおく.
• 最後に, 第 $2$ 列に第 $1$ 列の $-2$ 倍を加え, 第 $3$ 列に第 $1$ 列の $-3$ 倍を加える, これにより, 第 $1$ 行は $(1,1)$ 成分を除いて全て $0$ になる: \[ \widetilde{P}AR_{2,1,-2}R_{3,1,-3} = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&-1&-2\cr 0&1&2 \end{pmatrix}. \] 記号の簡単のため, $\widetilde{Q} = R_{2,1,-2}R_{3,1,-3}$ とおく.

\[ A = \begin{pmatrix} 2&4&6\cr 2&3&4\cr 1&3&5 \end{pmatrix}. \]

• この行列の第 $1$ 行と第 $1$ 列を掃き出すと (上の例より), \[ \widetilde{A} = \widetilde{P}A\widetilde{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & -1 & -2 \cr 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] と変形することができる.
• このようにして得られた行列について, さらに第 $2$ 行と第 $2$ 列を掃き出してみよう.
• まず, 第 $2$ 行を $\widetilde{a}_{22}=-1$ で割ることで $(2,2)$ 成分を $1$ にする: \[ Q_{2,-1}\widetilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \]
• 次に, 第 $3$ 行に第 $2$ 行の $-1$ 倍を加える, これにより, 第 $2$ 列は $(2,2)$ 成分を除いて全て $0$ になる: \[ R_{3,2,-1}Q_{2,-1}\widetilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
• 最後に, 第 $3$ 列に第 $2$ 列の $-2$ 倍を加える, これにより, 第 $2$ 行は $(2,2)$ 成分を除いて全て $0$ になる: \[ R_{3,2,-1}Q_{2,-1}\widetilde{A}R_{3,2,-2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
• 記号の簡単のため, 改めて \[ \widetilde{P} = R_{3,2,-1}Q_{2,-1}R_{3,1,-1}R_{2,1,-2}Q_{1,1/2}, \] \[ \widetilde{Q} = R_{2,1,-2}R_{3,1,-3}R_{3,2,-2} \] とおくと, \[ \widetilde{P}A\widetilde{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] が得られたことになる.

\[ A = \begin{pmatrix} 1&2\cr 3&4 \end{pmatrix},\quad B= \begin{pmatrix} -2&1\cr 3/2&-1/2 \end{pmatrix}. \] このとき, $AB=BA=I$ なので $A^{-1}=B$ である, つまり $A$ は正則行列である. この行列 $A$ が行基本変形のみで単位行列に変形できることを確かめてみよう.

以降, 行基本変形を矢印 ($\longrightarrow$) で表すことにする: \[ \begin{array}{rll}A =& \begin{pmatrix} 1&2\cr 3&4 \end{pmatrix} \quad & \left(\text{$a_{11}=1$ なので変形不要}\right) \cr \longrightarrow&\begin{pmatrix} 1&2\cr 0&-2 \end{pmatrix} \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $2$ 行に第 $1$ 行の}\cr \text{$-3$ 倍を加えた}\end{array}\right)\cr \longrightarrow&\begin{pmatrix} 1&2\cr 0&1 \end{pmatrix} \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $2$ 行を $-1/2$ 倍して}\cr \text{$a_{22}=1$ に変形}\end{array}\right)\cr \longrightarrow&\begin{pmatrix} 1&0\cr 0&1 \end{pmatrix} \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $1$ 行に第 $2$ 行の}\cr \text{$-2$ 倍を加えた}\end{array}\right) \end{array} \] これは基本行列を左から掛けて表現すると, $R_{1,2,-2}Q_{2,-1/2}R_{2,1,-3}A = I$ となることを意味している.

\[ C = \begin{pmatrix} 1&2\cr 2&4 \end{pmatrix}. \] この行列は逆行列を持たない. この行列に行基本変形を行うと, \[ \begin{array}{rll}C =& \begin{pmatrix} 1&2\cr 2&4 \end{pmatrix}\quad&\cr \longrightarrow& \begin{pmatrix} 1&2\cr 0&0 \end{pmatrix} \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $2$ 行に第 $1$ 行の}\cr \text{$-2$ 倍を加えた}\end{array}\right) \end{array} \] などとなる. これ以上行基本変形を行なっても, 標準形にすることはできない.

なお, 行基本変形だけでなく, 列基本変形も用いると, $ \begin{pmatrix} 1&0\cr 0&0 \end{pmatrix}$ という標準形にすることができるが, これは単位行列ではない.

行列 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \cr 0 & 0 & 5 & 6 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ について,

• 第 $1$ 行の主成分は $(1,1)$ 成分の $1$ である,
• 第 $2$ 行の主成分は $(2,3)$ 成分の $5$ である,
• 第 $3$ 行は主成分を持たない.

• 行列 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \cr 0 & 0 & 5 & 6 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ は行階段形ではあるが, $1$ でない主成分が存在するため行簡約階段形ではない.
• 行列 $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \cr 0 & 0 & 1 & 6/5 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ は行階段形ではあるが, 第 $2$ 行の主成分を含む列 (第 $3$ 列) に, 主成分でも $0$ でもない成分が存在するため行簡約階段形ではない.
• 行列 $C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 2/5 \cr 0 & 0 & 1 & 6/5 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ は行簡約階段形である.
• 上に挙げた行列について, 行列 $A$ を行基本変形で $B$ に, さらに $B$ を行基本変形により $C$ に変形できることが確認できる. つまり, 行簡約階段形でない行列に行基本変形を行うことで, 行簡約階段形の条件が満たされるように変形することができる.

\[A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 1&3&5 \end{pmatrix},\quad I = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4\cr 7\cr 5 \end{pmatrix}.\] このとき, \[ \left(\begin{array}{c:c}A&I\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc:ccc} 1&2&3&1&0&0\cr 2&3&4&0&1&0\cr 1&3&5&0&0&1 \end{array}\right), \]\[ \left(\begin{array}{c:c}A&\mathbf{b}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc:c} 1&2&3&4\cr 2&3&4&7\cr 1&3&5&5 \end{array}\right). \]

これによる逆行列の計算を, 拡大行列を用いて記述してみよう: \[ \begin{array}{rll}\left(\begin{array}{c:c}A&I\end{array}\right) =& \left(\begin{array}{cc:cc} 1&2&1&0\cr 3&4&0&1 \end{array}\right)\cr \longrightarrow&\left(\begin{array}{cc:cc} 1&2&1&0\cr 0&-2&-3&1 \end{array}\right) \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $2$ 行に第 $1$ 行の}\cr \text{$-3$ 倍を加えた}\end{array}\right)\cr \longrightarrow&\left(\begin{array}{cc:cc} 1&2&1&0\cr 0&1&3/2&-1/2 \end{array}\right) \quad &\text{(第 $2$ 行を $-1/2$ 倍した)}\cr \longrightarrow&\left(\begin{array}{cc:cc} 1&0&-2&1\cr 0&1&3/2&-1/2 \end{array}\right) \quad &\left(\begin{array}{c}\text{第 $1$ 行に第 $2$ 行の}\cr \text{$-2$ 倍を加えた}\end{array}\right) \end{array} \] このように, 拡大行列 $\left(\begin{array}{c:c}A&I\end{array}\right)$ に対して行基本変形を行うことで, 行列 $A$ と単位行列 $I$ に対して同じ行基本変形を適用できる. 定理より, 左側を単位行列に変形することができたので, 右側が $A^{-1}$ となる.

上に例として挙げた連立 $1$ 次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ を掃き出し法により解いて $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ を求めてみよう:

このように, 拡大行列 $\left(\begin{array}{c:c}A&\mathbf{b}\end{array}\right)$ に対する行基本変形により, 左側を単位行列に変形することができたならば, 右側が $A^{-1}\mathbf{b}$ となるため, これが連立 $1$ 次方程式の解 $\mathbf{x}$ である.

\[ \left\lbrace\begin{array}{rll} x+2y &= a, &(1)\cr 2x+4y &= b. &(2) \end{array}\right. \] という連立 $1$ 次方程式, もしくはこれと行列を用いて表記した \[ \begin{pmatrix} 1&2\cr 2&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cr b \end{pmatrix} \] を考える. 拡大行列に対する掃き出し法により \[ \left(\begin{array}{cc:c} 1&2&a\cr 2&4&b \end{array}\right)\longrightarrow \left(\begin{array}{cc:c} 1&2&a\cr 0&0&b-2a \end{array}\right) \] と, 左側を行簡約階段形にすることができるが, 左側を単位行列にすることはできない. この行階段形は, \[ \left\lbrace\begin{array}{rll} x+2y &= a, &(1)\cr 0x+0y &= b-2a. &(2)^{\prime} \end{array}\right. \] と同値であるが, この問題は $b-2a\neq 0$ ならば解は存在しない. 一方で, $b-2a=0$ ならば $x+2y=a$ を満たす全ての $x$, $y$ が解となる.

\[ \begin{pmatrix} 1&2\cr 2&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cr 0 \end{pmatrix} \] を考える. 拡大行列に対する掃き出し法により \[ \left(\begin{array}{cc:c} 1&2&0\cr 0&0&0 \end{array}\right) \] という行簡約階段形が得られるが, この第 $2$ 行は \[ 0\cdot x+0\cdot y = 0 \] を意味しており矛盾しない. 従って, 第 $1$ 行が意味する \[ x + 2y = 0 \] を満たす全ての $x$, $y$ が解となる. これは,